Définition et conditions d'application
La variable alétoire t de Student est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité de probabilités est symétrique et dépend d'un paramètre k ou nombre de degrés de liberté. Elle est obtenue par réduction d'une variable aléatoire normale (comme la variable Z abordée au module 70) mais la variance de la population σ2 est remplacée par la variance S2 de l'échantillon. Le nombre de degrés de liberté k est en général, égal à la taille de l'échantillon n -1.
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D'après Thorin sur fr.wikipedia.org
Comme la variable réduite Z (voir module 70), la variable t de Student a pour moyenne 0, mais sa variance n'est plus 1, elle est toujours > 1, mais d'autant plus proche de 1 que son nombre de degrés de liberté est grand. Lorsque n = ∞, t v.a. N(0;1). Donc, lorsque n = ∞ -> t=z.
La réduction de Student est communément employée pour convertir une moyenne expérimentale en une valeur réduite selon l'application du Théorème central limite (voir ces quelques pages...).
La réduction d'une variable observée, ici la moyenne d'un échantillon, en une variable t s'effectue comme suit:
Au lieu de :
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Cette valeur de t observée tient compte de la taille de l'échantillon, car plus n est grand, plus S estime correctement σ. La précision de cette estimation est prise en compte dans le modèle mathématique de la distribution de Student à travers le nombre de degrés de liberté (k=n-1), qui augmente d'autant plus que n augmente.
Exemple :
Cherchons dans les tables la valeur réduite en dessous de laquelle on trouve 95% des individus :
Dans le cas de z v.a. N(0;1) si P(Z<z)=0,95 -> z=1,645
Dans le cas d'une distribution de Student avec k=40 degrés de liberté : t40;0,95 = 1,684
Dans le cas d'une distribution de Student avec k=20 degrés de liberté : t20;0,95 = 1,725
Dans le cas d'une distribution de Student avec k=10 degrés de liberté : t10;0,95 = 1,812
Dans le cas d'une distribution de Student avec k=5 degrés de liberté : t5;0,95 = 2,015
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