Soit TeX Embedding failed! la matrice à diagonaliser, TeX Embedding failed! les matrices d’opérations élémentaires sur les lignes, dans l’ordre de leur exécution et TeX Embedding failed! les matrices d’opérations élémentaires sur les colonnes. La succession des opérations s’écrit de la façon suivante :

Le produit matriciel n’étant pas commutatif, les opérations à gauche se succèdent de droite à gauche et les opérations à droite de gauche à droite.

Le produit matriciel étant associatif, le produit TeX Embedding failed! peut être effectué et stocké dans TeX Embedding failed! , le produit TeX Embedding failed! peut être effectué et stocké dans TeX Embedding failed!, … à l’infini.

Lorsque l’ensemble des opérations élémentaires aboutit à la diagonalisation de TeX Embedding failed!, l’opération peut être réalisée par le produit TeX Embedding failed!

TeX Embedding failed! est une matrice remplie de 0, la diagonale principale comportant r valeurs 1, r étant le rang de la matrice TeX Embedding failed!. Le rang est le nombre de dimensions nécessaires pour représenter TeX Embedding failed! dans l’espace. Si TeX Embedding failed! est carrée (p x p) et de rang complet (non singulière, r = p), la matrice TeX Embedding failed! est la matrice identité p x p.

Exemple pour une matrice non symétrique :

Par facilité, l’exemple est pris sur une matrice carrée TeX Embedding failed!, mais elle pourrait être rectangulaire.

Opérations élémentaires sur les lignes :

Opérations élémentaires sur les colonnes :

Synthèse  :

La matrice TeX Embedding failed! est de rang 1.

Toutes les matrices d’opération élémentaire ayant un inverse, TeX Embedding failed! et TeX Embedding failed! existent, et TeX Embedding failed! ce qui montre que l’historique des changements est bien stocké et que l’opération est réversible.

Exemple pour une matrice symétrique :

Opérations élémentaires sur les lignes :

Opérations élémentaires sur les colonnes :

Synthèse  :

La matrice TeX Embedding failed! est de rang 2. TeX Embedding failed! étant égale a TeX Embedding failed!, l’opération inverse montre que la matrice TeX Embedding failed! est entièrement stockée dans la matrice TeX Embedding failed!.