Pratique des Biostatistiques
Dernière modification: 8 août 2011

Test de comparaison d'une moyenne d'un échantillon par rapport à une population standard

Principe:

Un échantillon est prélevé et sa moyenne est calculée (mx). Cet échantillon provient-il d'une population 1 déterminée de moyenne µ1 ou bien appartient-il à une seconde population appelée population 2 de moyenne µ2? Autrement dit, cet échantillon est-il conforme à la population d'origine?

Les hypothèses:

Hypothèse nulle H0:

La moyenne de l'échantillon appartient à la population de référence de moyenne µ1.

TeX Embedding failed!

Hypothèse alternative H1:

  • L'échantillon appartient à une population dont la moyenne µ2 est supérieure à la moyenne µ1 de la population de référence.
    TeX Embedding failed!
  • ou encore: L'échantillon appartient à une population dont la moyenne µ2 est inférieure à la moyenne µ1 de la population de référence.
    TeX Embedding failed!
  • ou encore: L'échantillon appartient à une population dont la moyenne µ2 est différente de la moyenne µ1 de la population de référence.
    TeX Embedding failed!

Calculer la valeur observée:

Cas 1: la variance de la population de référence est connue:

La réduction de la moyenne de l'échantillon peut se faire par le calcul d'une valeur de Z observée dont la formule est la suivante:

TeX Embedding failed!

Où mx est la moyenne de l'échantillon; µ1 est la moyenne de la population de référence; TeX Embedding failed!  est la variance de la population de référence; n est la taille de l'échantillon.

Dans la table de Z, on trouve la (les) valeur(s) seuil(s) en tenant compte de alpha et du sens de l'hypothèse alternative (test uni- ou bi-directionnel).

  • AH0 : L'échantillon de moyenne mx appartient à la population de référence dont la moyenne est µ1.
  • RH0 : L'échantillon de moyenne mx n'appartient pas à la population de référence dont la moyenne est µ1 mais à une population dont la moyenne µ2 est plus grande OU plus petite que celle de la population de référence de moyenne µ1.

Cas 2: la variance de la population de référence est inconnue:

Dans ce cas, il n'est plus possible de calculer directement une valeur de z observée car il nous manque la valeur de la variance de la population de référence TeX Embedding failed!.

Cependant, il est possible d'adapter cette formule en estimant TeX Embedding failed! par la variance TeX Embedding failed! de l'échantillon. La variable réduite ainsi obtenue n'est plus une variable z mais une variable t avec n-1 degrés de liberté .

TeX Embedding failed!

Où mx est la moyenne de l'échantillon; µ1 est la moyenne de la population de référence; TeX Embedding failed! est la variance de l'échantillon, estimateur de la variance de la population (autrement dit la TeX Embedding failed! ); n est la taille de l'échantillon.

Pour trouver la ou les valeurs seuil, il faut donc rechercher la valeur t dans les tables de t de Student (l'aspect de la courbe est aussi une courbe de Gauss) en tenant compte de alpha (ou 1-alpha) et du nombre de dégrés de liberté:

tseuil;(n-1) degrés de liberté

Où "seuil" dépend du alpha choisi et du sens de l'hypothèse alternative; n est la taille de l'échantillon.

  • AH0 : L'échantillon de moyenne mx appartiendrait à la population de référence dont la moyenne est µ1 jusqu'à preuve du contraire.
  • RH0 : L'échantillon de moyenne mx n'appartient pas à la population de référence dont la moyenne est µ1 mais à une population dont la moyenne µ2 est plus grande OU plus petite que celle de la population de référence, dont la moyenne est µ1.