Pratique des Biostatistiques
Dernière modification: 17 août 2011

Intervalle de confiance de la pente d'une droite de régression

Dans le cadre complexe des régressions, nous n'aborderons ici que le cas particulier de la régression linéaire, dont les principes de base ont été définis dans le module 20 : Statistiques descriptives à deux dimensions. On abordera plus particulièrement le cas d'une régression à X fixé, tel que décrit dans le module 170 : Régression dans l'ANOVA 1.

Régression linéaire à X fixé :

Dans ce cas particulier, les conditions d'inférence sur la droite de régression sont strictes.

Condition 1 :

Les valeurs prises par la variable X doivent être fixées sans erreur par l'expérimentateur.

Condition 2 :

X étant une variable contrôlée (valeurs fixées par l'expérimentateur), on peut considérer Y comme fonction de X, mais pas le contraire : Y=f(X)

Condition 3:

Pour chaque valeur Xi de X, il existe une population de valeurs Yi distribuée normalement, de moyenne µi et de variance σ2 homogène c'est-à-dire constante quelle que soit la valeur de X :

Yi v.a.N(µi2 )

Condition 4:

Les moyennes µi correspondant aux valeurs Yi sont situées sur une droite dont les paramètres sont β0 et β1 telle que :

µi01.Xi

avec β0 l'ordonnée à l'origine et β1 la pente.

Dans ces conditions, l'intervalle de confiance de β1 = B1 ± ε avec TeX Embedding failed!
avec  TeX Embedding failed!
et  TeX Embedding failed! 

avec :

  • CMr = carré moyen résiduel
  • SCEr = somme des carrés des écarts résiduels
  • yo = y observé
  • ym = y estimé par l'équation de la régression pour le même x que le yo
  • ye = yo - ym

Exemple

Un démographe estime la croissance de la population pensionnée d'un quartier, année par année sur 5 ans :

Yo = 26%, 32%, 40%, 44%, 55% :

 

Sur base du modèle linéaire Ym = Bo + B1.X, il estime une croissance de 7,00 % par an (B1).

Tables : t3 ;0,975 = 3,18

TeX Embedding failed!

L'accroissement réel annuel (confiance = 95%) est donc compris entre 5,24 et 8,76%