Le théorème central limite est un théorème mathématique qui définit les paramètres de la distribution d'échantillonnage, ou distribution des moyennes des échantillons en fonction des paramètres de la population de départ et la taille de d'échantillon.

Selon le théorème central limite, les moyennes des échantillons indépendants provenant d'une même population (µ;σ²) se distribuent selon une distribution normale de paramètres (TeX Embedding failed!).

Illustration avec une variable aléatoire normale

Soient x₁, x₂, x₃ ... x_∞ les tailles (cm) de truites arc-en-ciel. La taille de ces truites se distribue selon une distribution normale de paramètres :

X v.a. N(µ;σ²)

Si on prélève des échantillons indépendants (les poissons sont choisis au hasard) de n individus, toutes les moyennes de ces échantillons se distribuent selon une loi normale de même moyenne, mais de variance plus faible, avec TeX Embedding failed!.

La racine carrée de TeX Embedding failed! est appelée l'erreur standard de la moyenne (SEM ou standard error of the mean) ou encore écart-type de la moyenne.

Exemples :

Si les truites proviennent d'une population normale de paramètres (15;4), les échantillons de 4 truites auront des moyennes qui se distribuent selon une loi normale de paramètres (15;1).

Si les truites proviennent d'une population normale de paramètres (20;12), les échantillons de 3 truites auront des moyennes qui se distribuent selon une loi normale de paramètres (20;4).

etc...

Illustration avec une variable Binomiale

Le théorème central limite s'applique aussi aux distributions discontinues telles que les distributions Binomiales ou de Poisson.

Prenons le cas du lancer d'un dé. Si le dé a 6 faces, et qu'il est équilibré, chaque face a 1/6ème de chance d'être affichée lors d'un lancer.

Si je lance le dé une seule fois, P(face=1)=P(face=3)=1/6

Si je lance le dé 10 fois P(moyenne=1)<P(moyenne=3)

Si je lance le dé 100 fois P(moyenne=1)<<<<<<P(moyenne=3)

etc...

Même si la variable est discontinue, la distribution des valeurs des moyennes des échantillons tend à suivre une loi normale de paramètres (µ;σ²/n) avec µ=moyenne de la population des valeurs de départ, et σ² la variance de cette population de départ, pour autant que la taille n de l'échantillon soit suffisamment grande.

Conséquence du théorème central limite

Lorsqu'on dispose des données de population (µ;σ²) et qu'on vous demande de calculer des probabilités associées à des valeurs moyennes réalisées sur n mesures, vous devez replacer ces valeurs moyennes dans leur distribution (TeX Embedding failed!) et non pas dans la distribution des valeurs des individus (µ;σ²).