Exemple de régression linéaire
La mortalité, la composition raciale (% de non blancs), un polluant atmosphérique (protoxyde d’azote, N2O) et le niveau d’éducation ont été relevés dans quelques villes américaines (subset des données de http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/SMSA.html).
|
Ville USA |
Mortalité |
%NonBlanc |
N2O |
Education |
|
Allentown, Bethlehem, PA-NJ |
962,35 | 0,80 | 0,78 | 9,8 |
|
Atlanta, GA |
982,29 | 27,10 | 0,90 | 11,1 |
|
Baltimore, MD |
1071,29 | 24,40 | 1,58 | 9,6 |
|
Birmingham, AL |
1030,38 | 38,50 | 1,51 | 10,2 |
|
Columbus, OH |
958,84 | 13,10 | 0,95 | 11,9 |
|
Flint, MI |
941,18 | 13,10 | 0,60 | 10,8 |
|
Dayton-Springfield, OH |
936,23 | 12,40 | 0,60 | 11,4 |
|
Kansas City, MO |
919,73 | 12,60 | 0,60 | 12 |
|
Louisville, KY-IN |
989,26 | 13,10 | 1,57 | 9,9 |
|
Pittsburgh, PA |
991,29 | 8,10 | 1,77 | 10,6 |
|
Providence, RI |
938,5 | 2,20 | 0,60 | 10,1 |
|
Richmond-Petersburg, VA |
1025,5 | 28,60 | 0,95 | 11 |
|
Syracuse, NY |
950,67 | 3,80 | 0,70 | 11,4 |
|
Washington, DC-MD-VA |
967,8 | 25,90 | 1,45 | 12,3 |
|
Reading, PA |
946,19 | 2,70 | 1,04 | 9,6 |
|
Worcester, MA |
895,7 | 1,00 | 0,48 | 11,1 |
|
Youngstown-Warren, OH |
954,44 | 11,70 | 1,11 | 10,7 |
L’analyse à deux variables produit les résultats suivants :
L’analyse en régression multiple se base sur les matrices suivantes :
|
Y |
|
|
X |
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962,35 |
|
1 |
0,80 |
0,78 |
9,8 |
|
982,29 |
|
1 |
27,10 |
0,90 |
11,1 |
|
1071,29 |
|
1 |
24,40 |
1,58 |
9,6 |
|
1030,38 |
|
1 |
38,50 |
1,51 |
10,2 |
|
958,84 |
|
1 |
13,10 |
0,95 |
11,9 |
|
941,18 |
|
1 |
13,10 |
0,60 |
10,8 |
|
936,23 |
|
1 |
12,40 |
0,60 |
11,4 |
|
919,73 |
|
1 |
12,60 |
0,60 |
12 |
|
989,26 |
|
1 |
13,10 |
1,57 |
9,9 |
|
991,29 |
|
1 |
8,10 |
1,77 |
10,6 |
|
938,50 |
|
1 |
2,20 |
0,60 |
10,1 |
|
1025,50 |
|
1 |
28,60 |
0,95 |
11 |
|
950,67 |
|
1 |
3,80 |
0,70 |
11,4 |
|
967,80 |
|
1 |
25,90 |
1,45 |
12,3 |
|
946,19 |
|
1 |
2,70 |
1,04 |
9,6 |
|
895,70 |
|
1 |
1,00 |
0,48 |
11,1 |
|
954,44 |
|
1 |
11,70 |
1,11 |
10,7 |
Et produit le vecteur b calculé suivant:
b = (X’X)-1X’Y
par la fonction excel :
=PRODUITMAT(INVERSEMAT(PRODUITMAT(TRANSPOSE(X);X));PRODUITMAT(TRANSPOSE(X);Y))
|
b0 |
1109,57 |
|
b1 |
36,0395 |
|
b2 |
2,2969 |
|
b3 |
-19,456 |
Les valeurs prédites par le modèle sont calculées en appliquant l’équation:
Ymod = 1109,57 + 36,04 X1 + 2,29 X2 -19,45 X3
|
Y |
observé |
modélisé |
écarts |
|
Allentown, Bethlehem, PA-NJ |
962,35 |
948,79 |
13,56 |
|
Atlanta, GA |
982,29 |
988,4 |
-6,11 |
|
Baltimore, MD |
1071,29 |
1035,77 |
35,52 |
|
Birmingham, AL |
1030,38 |
1053,8 |
-23,42 |
|
Columbus, OH |
958,84 |
942,53 |
16,31 |
|
Flint, MI |
941,18 |
951,23 |
-10,05 |
|
Dayton-Springfield, OH |
936,23 |
937,95 |
-1,72 |
|
Kansas City, MO |
919,73 |
926,74 |
-7,01 |
|
Louisville, KY-IN |
989,26 |
1003,56 |
-14,3 |
|
Pittsburgh, PA |
991,29 |
985,76 |
5,53 |
|
Providence, RI |
938,5 |
939,82 |
-1,32 |
|
Richmond-Petersburg, VA |
1025,5 |
995,64 |
29,86 |
|
Syracuse, NY |
950,67 |
921,69 |
28,98 |
|
Washington, DC-MD-VA |
967,8 |
981,91 |
-14,11 |
|
Reading, PA |
946,19 |
966,53 |
-20,34 |
|
Worcester, MA |
895,7 |
913,1 |
-17,4 |
|
Youngstown-Warren, OH |
954,44 |
968,41 |
-13,97 |
|
Variance |
1893,44 |
= 1547,85 |
+ 345,59 |
|
|
|
|
|
|
R2 = |
1547,85 |
/ 1893,44 |
= 0,82 |
Soit une forte augmentation de la valeur prédictive pour la fonction des variables prises ensemble.