Scalaires et vecteurs

Soit le prix d’un pain de 2 €. Ce prix est quantifié par un nombre réel a qualifié ici de nombre scalaire (sans direction), ce qui le différenciera des vecteurs, qui expriment une direction dans un espace.

a = 2 est un scalaire

Soit la liste de prix suivante (€):

1 pain	2
1 kg de jambon	10
1 bac de bière	12
1 bouteille d'eau	1
1 vidange	-0,1

La suite de nombres qui représente les prix constitue un vecteur, c’est-à-dire une collection de nombres d’une seule ligne ou d’une seule colonne.

a

2

10

12

1

-0,1

Le vecteur a est un vecteur colonne.

a'

2

10

12

1

-0,1

Le vecteur a' est un vecteur ligne. 

Transposition

La transposition est l’opération qui consiste à transformer le vecteur colonne a en vecteur ligne a’ et réciproquement : a’’ = a .

Notez qu’à ce stade le vecteur est une simple collection de nombres et que sa nature dirigée n’est pas prise en considération.

Soit la liste de courses suivante :

2	pains
0,25	kg jambon
1	bac de bière
6	bouteilles d’eau
10	Vidanges à rendre

A partir de cette liste, on peut construire b le vecteur colonne et b' le vecteur ligne.

b

2

0,25

1

6

10

b'

2

0,25

1

6

10

Produit scalaire

Le produit scalaire est l’opération qui consiste à effectuer la somme des produits des éléments de deux vecteurs.

Exemple: produit scalaire b'a

Le produit scalaire b'a est la somme des produits des éléments de b’ par ceux de a.

Par définition, le vecteur situé à gauche est toujours un vecteur ligne et celui situé à droite est toujours un vecteur colonne.

Ceci implique que le nombre de colonnes de b’ doit être égal au nombre de lignes de a

					2
					10
					12
					1
					-0,1
2	0,25	1	6	10	23,5

Produit scalaire de b'a = TeX Embedding failed!

Le scalaire obtenu représente le prix à payer à la caisse du magasin.

Le produit scalaire est transitif pour autant que les vecteurs soient transposés et leur ordre inversé:

b’a = a’b

					2
					0,25
					1
					6
					10
2	10	12	1	-0,1	23,5

Produit scalaire de a'b = TeX Embedding failed!

Cas particulier: la forme quadratique a'a

La forme quadratique est le produit scalaire particulier a’a . Il correspond à la somme des carrés des éléments de a.

					2
					10
					12
					1
					-0,1
2	10	12	1	-0,1	249,01

Forme quadratique a'a = TeX Embedding failed!