Exercices

1. Un écologiste étudie une population de chauves-souris de l'espèce Grand Rhinolophe. D'après la littérature, il sait que l'envergure de ces chiroptères obéit à une distribution normale dont la moyenne est de 375 mm pour une variance de 225 mm².

Cet écologiste capture un individu dont la taille est de 350 mm. Cet individu est-il considéré comme conforme ou bien est-il significativement différent de ce que prévoit le modèle?

Correction

Données issues de l'énoncé

μ = 375 mm
σ² = 225 mm²
x = 350 mm

Les hypothèses

TeX Embedding failed! (l'individu a une taille conforme)
TeX Embedding failed! (l'individu est non conforme)

Ou encore:
H0 : M1 = M H1 : M1 > M H2 : M1 < M

Convertir la valeur observée en une valeur réduite

TeX Embedding failed!

Trouver le seuil de signification

Attention: "significativement" qualifie une confiance de 95%, par conséquent α = 5%.
Le test est bidirectionnel (H1 ou H2). Le seuil de signification est donc TeX Embedding failed! pour H2 et TeX Embedding failed! pour H1.
Dans la table, on ne peut trouver que les probabilités P(Z<z) pour z positif. La borne supérieure de l'intervalle de confiance vaut 1,96. En utilisant la propriété de symétrie la borne inférieure vaut -1,96.

Conclusion

-1,96<-1,66666667<1,96 c'est-à-dire z observé compris entre les bornes de l'intervalle de confiance.

On accepte H0 (AH0) Cela veut dire qu'on n'a pas réussi à montrer que l'individu capturé était significativement (alpha de 5%) différent de la normale.

2. Un biologiste étudie l’envergure du Grand Rhinolophe. Dans la littérature, il trouve que l’envergure moyenne théorique µ est de 375 mm et la variance de 225 mm2.

Dans cette population, on capture un individu dont l'envergure est de 404,5 mm. Cette envergure est-elle anormalement grande pour la population de Grand Rhinolophe (alpha = 5%) ?
Correction

Données issues de l'énoncé

μ = 375 mm
σ² = 225 mm²
x = 404,5 mm
α = 0,05

Les hypothèses

TeX Embedding failed! (l'individu a une taille conforme)
TeX Embedding failed! (l'individu est anormalement grand)

Convertir la valeur observée en une valeur réduite

TeX Embedding failed!

Trouver le seuil de signification

Le test est unidirectionnel, avec une erreur alpha de 5%. Le seuil de signification est donc TeX Embedding failed!, soit 1,64.

Conclusion

TeX Embedding failed!; il y a donc rejet de l'hypothèse nulle. On peut donc affirmer, avec moins de 5% de risque de se tromper que l'envergure de l'individu observé est anormalement grande.
Dans cette population, on capture un individu dont l'envergure est de 409 mm. Cette envergure est-elle plus grande que celle attendue dans la population de Grand Rhinolophe (alpha = 5%) ? Qu'en est-il avec un intervalle de confiance de 99% ?
Correction

Données issues de l'énoncé

μ = 375 mm
σ² = 225 mm²
x = 404,5 mm
α = 0,05 puis α = 0,01

Les hypothèses

TeX Embedding failed! (l'individu a une taille conforme)
TeX Embedding failed! (l'individu est anormalement grand)

Convertir la valeur observée en une valeur réduite

TeX Embedding failed!

Trouver le seuil de signification

Le test est unidirectionnel, avec d'abord une erreur alpha de 5%. Le seuil de signification est donc TeX Embedding failed!, soit 1,64.
Lorsque la confiance est de 99%, le seuil de signification est 2,326.

Conclusion

TeX Embedding failed!; il y a donc rejet de l'hypothèse nulle lorsque la confiance est de 95%. Toutefois, lorsque la confiance est de 99%, TeX Embedding failed!; il y a donc acceptation de l'hypothèse nulle.

On peut donc affirmer que l'envergure de l'individu observé est significativement plus grande que la normale.

On a capturé une chauve-souris dans un ancien clocher désaffecté. Divers paramètres ont été mesurés. Vous disposez des moyennes et des écarts-types de ces paramètres pour la population de Grands Rhinolophes. Cet individu fait-il partie de cette population ou bien appartient-il à une population de chauves-souris significativement ou très significativement plus grande? Si non, en combien de points (énoncez-les) diffère-t-il de la population de Grands Rhinolophes?

	µ	σ	X_observé	Z_observé	Z_0,95	Z_0,99	Conclusion

Poids	26	4,5	35
Longueur oreille	23	1,5	25,2
Longueur avant-bras	57,5	1,75	58
Longueur tête-corps	64	3,5	72
Envergure	375	12,5	404,1

Correction

	µ	σ	X_observé	Z_observé	Z_0,95	Z_0,99	Conclusion

Poids	26	4,5	35	TeX Embedding failed!	1,645	2,326	Le poids de la chauve-souris capturée est significativement plus grand que la normale.
Longueur oreille	23	1,5	25,2	TeX Embedding failed!	1,645	2,326	On n'a pas réussi à montrer que la longueur de l'oreille de la chauve-souris capturée est plus grande que la normale.
Longueur avant-bras	57,5	1,75	58	TeX Embedding failed!	1,645	2,326	On n'a pas réussi à montrer que la longueur de l'avant-bras de la chauve-souris capturée est plus grande que la normale.
Longueur tête-corps	64	3,5	72	TeX Embedding failed!	1,645	2,326	La longueur tête-corps de la chauve-souris capturée est significativement plus grande que la normale.
Envergure	375	12,5	404,1	TeX Embedding failed!	1,645	2,326	L'envergure de la chauve-souris capturée est très significativement plus grande que la normale.