Exercices

1. Soit une population de chauves-souris dont on connait la longueur moyenne des oreilles (µ=23 mm). On prélève un échantillon de 21 chauves-souris dont la longueur moyenne des oreilles est de 22,34 mm avec une variance de 49 mm². La moyenne de cet échantillon se situe-t-elle dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population ?

2. Soit une population de chauves-souris dont on connait la longueur moyenne des oreilles (µ=23 mm). On prélève un échantillon de 21 chauves-souris dont la longueur moyenne des oreilles est de 20,5 mm avec une variance de 16 mm². La moyenne de cet échantillon se situe-t-elle dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population ?

3. Pour une population de vipères à collier adultes, on enregistre une longueur moyenne de corps de 130 cm. Sachant qu'on prélève un échantillon de 9 individus dont la longueur moyenne est de 133,33 cm avec une variance de 81 cm².

• La moyenne de cet échantillon se situe-t-elle dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population ?
  Correction

  On ne connait pas la variance de la population (σ²), donc on l'estime avec la valeur de la variance de l'échantillon : S² = 81 cm², ce qui donne un écart-type S = 9 cm.

  Avec ces données on peut calculer un TeX Embedding failed!.

  Cette valeur de t est associée à un certain nombre de degrés de liberté : si l'échantillon est composé de 9 individus, le degré de liberté est de n-1=9-1=8.

  L'intervalle comprenant les 95% des valeurs les plus fréquentes autour de la moyenne de la population va donc de t_8;0,025 à t_8;0,975.
  La lecture de la table de Student nous donne les valeurs suivantes :
  t_8;0,975 = 2,306 (ligne 8, colonne 0,975).
  La distribution de Student étant symétrique par rapport à sa moyenne on a :
  t_8;0,025 = -2,306

  Notre valeur de t observé = 1,11. Elle est donc bien comprise dans cet intervalle, et on peut donc conclure que la moyenne de cet échantillon se situe effectivement dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population.

• Qu'en est-il avec un autre échantillon de 9 individus dont la moyenne vaut 139 cm et de même variance que le précédent ?
  Correction

  On ne connait pas la variance de la population (σ²), donc on l'estime avec la valeur de la variance de l'échantillon : S² = 81 cm², ce qui donne un écart-type S = 9 cm.

  Avec ces données on peut calculer un TeX Embedding failed!.

  Cette valeur de t est associée à un certain nombre de degrés de liberté : si l'échantillon est composé de 9 individus, le degré de liberté est de n-1=9-1=8.

  L'intervalle comprenant les 95% des valeurs les plus fréquentes autour de la moyenne de la population va donc de t_8;0,025 à t_8;0,975.
  La lecture de la table de Student nous donne les valeurs suivantes :
  t_8;0,975 = 2,306 (ligne 8, colonne 0,975).
  La distribution de Student étant symétrique par rapport à sa moyenne on a :
  t_8;0,025 = -2,306

  Notre valeur de t observé = 3. Elle n'est donc pas comprise dans cet intervalle, et on peut donc conclure que la moyenne de cet échantillon ne se situe pas dans les 95% des moyennes les plus plausibles autour de la moyenne de la population.