Introduction

Comme vu précédemment, le protocole d'une expérience peut être modélisé en une équation mathématique.

Ce chapitre nous permet de déterminer, par un test statistique de Fisher-Snedecor, si chacun des composants de variance de l'équation a une influence significative sur le paramètre étudié.

Méthodologie :

1. après avoir modélisé sous forme d'équation le protocole expérimental, déterminer l'espérance du carré moyen correspondant à chaque composant de cette équation.
2. calculer le F_observé pour chaque composant.
   Rappelons que le test F est un rapport de carrés moyens. Au numérateur nous aurons le CM du composant et au dénominateur le CM du terme correspondant au carré moyen étudié.

• Si le composant a une influence significative, il devra être pris en compte dans la modélisation.
• Dans le cas contraire, l'équation de base pourra être simplifiée et le composant sera éliminé. Il ne faudra donc plus tenir compte de ce critère pour expliquer le paramètre étudié.

Contexte

Énoncé de l'expérience:

Pour fixer les quotas laitiers de la Région wallonne, l'expérimentateur prospecte l'Ardenne, le Condroz et la Hesbaye. Dans chaque région, il recueille les statistiques de production de 4 vaches prises au hasard, en été et en hiver. Sur chacune de ces vaches, il réalise 3 traites pour mesurer la quantité de lait.

Représentation de l'expérience:

		été			hiver
		traite 1	traite 2	traite 3	traite 1	traite 2	traite 3
Ardenne	vache 1	qtité lait
	vache 2
	vache 3
	vache 4
Condroz	vache 1
	vache 2
	vache 3
	vache 4
Hesbaye	vache 1
	vache 2
	vache 3
	vache 4

Critères:

Région: a_i où i = 3
- critère fixe avec 3 niveaux
- croisé au critère Saison

Vache: B_(i)j où j = 4
- critère aléatoire avec 4 niveaux
- hiérarchisé au critère Région
- croisé au critère Saison

Saison: c_k où k = 2
- critère fixe à 2 niveaux
- croisé au critère Région
- croisé au critère Vache

Nombre de réplicats: l = 3

 

Équation:

x(ijk) l = mx + a_i + B_(i)j + c_k + ac_ik + Bc_(i)jk + E_(ijk)l

La production laitière pourrait donc être influencée par:

• la Région seule: a_i
• la Vache seule: B_(i)j
• la Saison seule: c_k
• l'interaction Région / Saison: ac_ik
• l'interaction Vache / Saison: Bc_(i)jk
• _{la variabilité entre les 3 traites (variabilité résiduelle non testable)}
  

  ne pas oublier de tenir compte des erreurs de mesures E_(ijk)l (important quand la mesure est répétée).

Règle 1

		i = 3	j = 4	k = 2	l = 3
δ2a	ai	0	4	2	3
S2B	B(i)j	1	1	2	3
δ2c	ck	3	4	0	3
δ2ac	acik	0	4	0	3
S2Bc	Bc(i)jk	1	1	0	3
S2	E(ijk)l	1	1	1	1

 

Règle 2

		i = 3	j = 4	k = 2	l = 3
δ2a	ai	0	4	2	3	δ2a	S2B		δ2ac	S2Bc	S2
S2B	B(i)j	1	1	2	3		S2B			S2Bc	S2
δ2c	ck	3	4	0	3			δ2c	δ2ac	S2Bc	S2
δ2ac	acik	0	4	0	3				δ2ac	S2Bc	S2
S2Bc	Bc(i)jk	1	1	0	3					S2Bc	S2
S2	E(ijk)l	1	1	1	1						S2

Règle 3

 Exemple

		i = 3	j = 4	k = 2	l = 3
δ2a	ai	0	4	2	3	24δ2a	6S2B		0δ2ac	0S2Bc	1S2
S2B	B(i)j	1	1	2	3		6S2B			0S2Bc	1S2
δ2c	ck	3	4	0	3			36δ2c	0δ2ac	3S2Bc	1S2
δ2ac	acik	0	4	0	3				12δ2ac	3S2Bc	1S2
S2Bc	Bc(i)jk	1	1	0	3					3S2Bc	1S2
S2	E(ijk)l	1	1	1	1						1S2

Conclusion

Détermination des tests d'hypothèses et conclusions

Rappelons que l'intérêt de cette démarche est de déterminer quels composants de l'équation initiale sont pertinents pour expliquer la production laitière.

Chaque composant devra donc faire l'objet d'un test d'hypothèses et donc il faut, pour chacun de ces composants, calculer un F observé.

x_(ijk)l = mx + a_i + B_(i)j + c_k + ac_ik + Bc_(i)jk + E_(ijk)l

Application de la règle 4 pour déterminer les degrés de liberté de chaque test d'hypothèses

Effectuer le produit de la valeur maximale de tous les indices représentés en tête de ligne, après avoir retiré 1 à ceux qui ne sont pas entre parenthèses.

Exemple

			i=3	j=4	k=2	l=3							dl
test 1	δ2a	ai	0	4	2	3	24δ2a	6S2B		0δ2ac	0S2Bc	1S2	2
test 2	S2B	B(i)j	1	1	2	3		6S2B			0S2Bc	1S2	9
test 3	δ2c	ck	3	4	0	3			36δ2c	0δ2ac	3S2Bc	1S2	1
test 4	δ2ac	acik	0	4	0	3				12δ2ac	3S2Bc	1S2	2
test 5	S2Bc	Bc(i)jk	1	1	0	3					3S2Bc	1S2	9
	S2	E(ijk)l	1	1	1	1						1S2	48

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Test 1:

H0: δ²a = 0
H1 : δ²a ≠ 0

si δ²a = 0, l'espérance du CMa devrait être égale au CMB = 6S²B + 1S². Le rapport entre le CMa et le CMB devrait être proche de 1.

Donc, TeX Embedding failed!

1. si le test est significatif, alors δ²a ≠ 0
   alors, il faut maintenir a_i dans l'équation finale puisque la région influence la production laitière de manière significative
2. si le test est non significatif, alors δ²a = 0
   alors, nous pouvons supprimer a_i de l'équation finale puisque la région n'influence pas la production laitière
   

---

Test 2:

H0: S²B = 0
H1 : S²B ≠ 0

si S²B = 0, L'espérance du CMB devrait être égale au CMR = 1S². Le rapport entre le CMB et le CMR devrait être proche de 1.
donc, TeX Embedding failed!

1. si le test est significatif, alors S²B ≠ 0
   alors, il faut maintenir B_(i)j dans l'équation finale puisque le critère vache influence la production laitière de manière significative
2. si le test est non significatif, alors S²B = 0
   alors, nous pouvons supprimer B_(i)j de l'équation finale puisque le critère vache n'influence pas la production laitière
   

---

Test 3:

H0: δ²c = 0
H1 : δ²c ≠ 0

si δ²c = 0,  l'espérance du CMc devrait être égale au CMBc =3S²Bc + 1S². Le rapport entre le CMc et le CMBc devrait être proche de 1.
donc, TeX Embedding failed!

1. si le test est significatif, alors δ²c ≠ 0
   alors, il faut maintenir c_k dans l'équation finale puisque la saison influence la production laitière de manière significative
2. si le test est non significatif, alors δ²c = 0
   alors, nous pouvons supprimer c_k de l'équation finale puisque la saison n'influence pas la production laitière
   

---

Test 4:

H0: δ²ac = 0
H1 : δ²ac ≠ 0

si δ²ac = 0, l'espérance du CMac devrait être égale au CMBc =3S²Bc + 1S². Le rapport entre le CMac et le CMBc devrait être proche de 1.
donc, TeX Embedding failed!

 si le test est significatif, alors δ²ac ≠ 0
alors, il faut maintenir ac_ik dans l'équation finale puisque l'interaction région/saison influence la production laitière de manière significative

si le test est non significatif, alors δ²ac = 0
alors, nous pouvons supprimer ac_ik de l'équation finale puisque l'interaction région/saison n'influence pas la production laitière 

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Test 5:

H0: S²Bc = 0
H1 : S²Bc ≠ 0

si S²Bc = 0, l'espérance du CMBc devrait être égale au CMR = 1S². Le rapport entre le CMBc et le CMR devrait être proche de 1.
donc, TeX Embedding failed!

1. si le test est significatif, alors S²Bc ≠ 0
   alors, il faut maintenir Bc_(i)jk dans l'équation finale puisque l'interaction vache/saison influence la production laitière de manière significative
2. si le test est non significatif, alors S²Bc = 0
   alors, nous pouvons supprimer Bc_(i)jk de l'équation finale puisque l'interaction vache/saison n'influence pas la production laitière