Définition et but de la technique

La technique décrite dans ce module n'est applicable que dans le cas où:

il existe n_a niveaux du facteur A
il existe n_b niveaux du facteur B
les critères de classification sont fixes et s'écrivent: a_i et b_j
Pour chacune des n_an_b catégories, on prélève de façon indépendante un échantillon aléatoire de taille n. Les n observations d'un échantillon étant hiérarchisées aux n_an_b catégories, on prendra soin d'indiquer par des parenthèses la hiérarchisation de l'indice k aux indices (i,j). Une observation quelconque est notée X_(ij)k
les critères de classification fixes a_i et b_j sont croisés selon le schéma expérimental suivant:

	FACTEUR A
		1	...	i	...	n_a
FACTEUR B	1	X(11)1	...	X(i1)1		X(n_a1)1
		...	...	...	...	...
		X(11)n	...	X(i1)n		X(n_a1)n
	...	...	...	...		...
		...	...	...	...	...
		...	...	...		...
	j	X(1j)1	...	X(ij)1		X(n_aj)1
		...	...	...	...	...
		X(1j)n	...	X(ij)n		X(n_aj)n
	...	...	...	...		...
		...	...	...	...	...
		...	...	...		...
	n_b	X(1n_b)1	...	X(in_b)1		X(n_an_b)1
		...	...	...	...	...
		X(1n_b)n	...	X(in_b)n		X(n_an_b)n

Dans le cadre de ce cours, nous ne considèrerons que les expériences composées d'échantillons possédant tous un effectif n identique.

Dans un modèle d'ANOVA2 croisée fixe, l'équation s'écrit:

X_(ij)k = µ + a_i +b_j + ab_ij +E_(ij)k

Exemple

Un physiologiste compare l'effet de trois doses d'un même médicament à 4 temps différents. Pour chaque dose et chaque temps, il choisit aléatoirement 3 animaux :

	temps 1	temps 2	temps 3	temps 4
dose 1	x1	x10	x19	x28
	x2	x11	x20	x29
	x3	x12	x21	x30
dose 2	x4	x13	x22	x31
	x5	x14	x23	x32
	x6	x15	x24	x33
dose 3	x7	x16	x25	x34
	x8	x17	x26	x35
	x9	x18	x27	x36

But: vérifier si chacun des facteurs (temps et doses) retenus a ou non une influence sur la caractéristique mesurée et si ces facteurs agissent de manière additive (1+1=2) ou bien en synergie (1+1>2).

Calculs dans MS Excel

Tableau des moyennes et des variances
Tableau d'ANOVA
Questions posées par l'ANOVA 2 croisée fixe

Tableau des moyennes et des variances

A partir du tableau décrit à la page précédente, on peut calculer les moyennes et les variances.

	temps 1	temps 2	temps 3	temps 4	moyenne m_doses
dose 1	m_t1d1 S²_t1d1	m_t2d1 S²_t2d1	m_t3d1 S²_t3d1	m_t4d1 S²_t4d1	m_d1
dose 2	m_t1d2 S²_t1d2	m_t2d2 S² _t2d2	m_t3d2 S²_t3d2	m_t4d2 S²_t4d2	m_d2
dose 3	m_t1d3 S²_t1d3	m_t2d3 S²_t2d3	m_t3d3 S²_t3d3	m_t4d3 S²_t4d3	m_d3
moyenne m_temps	m_t1	m_t2	m_t3	m_t4	m générale

Tableau d'ANOVA

A condition d'avoir démontré par un test de Hartley que les variances pouvaient être considérées comme homogènes, il est possible de construire le tableau d'ANOVA suivant:

	SCE	dl	CM	F_observé
totale	voir ANOVA I
factorielle	voir ANOVA I
dose	SCE_dose	nbre dose - 1	SCE_dose/dl_dose	CM_dose/CMR
temps	SCE_temps	nbre tps - 1	SCE_temps/dl_temps	CM_temps/CMR
interaction	= SCEF -SCE_dose - SCE_temps	dlF-dl_dose-dl_temps	SCE_inter/dl_inter	CM_inter/CMR
résiduelle	voir ANOVA I

SCE dose

SCE_dose = n_{indiv_par_dose}* somme.carre.ecarts(m_doses)

SCE temps

SCE_temps = n_{indiv_par_tps} * somme.carre.ecarts(m_temps)

Les questions posées par l'ANOVA 2 croisée fixe:

Niveau Factoriel:

Est-il possible de mettre en évidence la présence d'au moins une moyenne différente des autres?

Niveau dose:

Est-il possible de mettre en évidence un effet global de la dose (tous les temps confondus)?

Niveau temps:

Est-il possible de mettre en évidence un effet global du temps (toutes les doses ensemble)?

Niveau Interaction:

Est-il possible de mettre en évidence la présence d'une interaction entre la dose et le temps?

Il y a absence d'interaction si la dose agit de la même façon à chacun des temps ou encore si l'effet du temps est semblable à chaque dose (parallélisme)?

L'ANOVA 2 croisée fixe