Principe

L'ANOVA 1 est dite aléatoire lorsque le facteur ou critère de classification est aléatoire. Dans ce cas, les niveaux du facteur sont choisis aléatoirement parmi une infinité de niveaux possibles. Cela s'applique, entre autres, aux échantillonnages à 2 niveaux, c'est-à-dire aux expériences où plusieurs mesures (appelées réplicats) sont réalisées par individu (facteur de classification).

Dans ce type d'expérience, l'étude des contrastes est inappropriée car ce qui intéresse l'expérimentateur n'est pas de comparer les niveaux du facteur entre eux (car ils sont choisis de façon aléatoire) mais bien de prendre en compte la variabilité due au facteur en comparaison avec la variabilité résiduelle. Cela peut, par exemple, lui permettre de déterminer le nombre de réplicats et d'individus optimaux pour une expérience ultérieure.

Exemple:

Pour étudier le poids des hommes, on effectue 4 pesées sur 5 hommes pris au hasard dans la population.

mesure	homme1	homme 2	homme 3	homme 4	homme 5
1	80,0	93,2	78,3	85,1	97,2
2	80,5	93,8	78,1	84,9	97,5
3	79,8	92,9	78,6	85,0	97,1
4	80,2	93,4	78,2	85,3	97,4
moyenne	80,125	93,325	78,300	85,075	97,300
variance	0,089	0,142	0,047	0,029	0,033

Premier niveau d'échantillonnage ou facteur de classification: les individus : le poids est une variable qui suit une distribution normale au sein de la population masculine. La variabilité du poids des hommes dans la population est représentée par TeX Embedding failed!. Elle peut être estimée à partir de la variabilité factorielle.

Deuxième niveau d'échantillonnage : les mesures : les 4 mesures (4 réplicats) prises sur un même individu ne seront pas exactement les mêmes, et se distribuent elles aussi selon une distribution normale, mais qui n'est pas la même que celle des individus. La variabilité des mesures est représentée par TeX Embedding failed!. Elle peut être estimé à partir de la variabilité résiduelle.
Variabilité totale = variabilité des hommes + variabilité des réplicats

Soit, TeX Embedding failed!

Calculs

Les calculs de l'ANOVA 1 aléatoire sont les mêmes que lors de la réalisation de l'ANOVA 1 fixe.

Estimation des variances:

variance du premier niveau d'échantillonnage: TeX Embedding failed!

variance du deuxième niveau d'échantillonnage: TeX Embedding failed!

Intervalle de confiance: TeX Embedding failed!
Ce qui peut être résumé en : TeX Embedding failed!

Estimation du nombre optimal d'unités pour chaque niveau d'échantillonnage

Pour ce calcul on doit d'abord calculer celui du deuxième niveau d'échantillonnage, car cette valeur est nécessaire pour calculer celui du premier niveau.

Nombre d'unités au deuxième niveau d'échantillonnage:

soit le nombre de réplicats nécessaires : TeX Embedding failed!

C_a : coût de l'individu

C : coût du réplicat

Nombre d'unités au premier niveau d'échantillonnage:

soit le nombre d'individus nécessaires pour garantir la signification d'une différence Δ (pour une confiance et une puissance de 95%) :

TeX Embedding failed!

Exercice

Pour déterminer le taux de catalase dans le foie de rat, un expérimentateur prélève le foie de 4 rats et réalise 5 dosages sur chaque foie

rat 1	rat 2	rat 3	rat 4
113.33	114.42	130.37	127.17
119.05	111.89	133.19	128.5
117.95	113.75	130.04	125.44
124.84	105.93	130.96	125.11
103.36	116.2	137.36	121.01

Réalisez l'analyse de la variance, sans oublier de vérifier la condition d'homoscédasticité au préalable.

Correction

a) Calcul de la moyenne et de la variance du taux de catalase chez chaque rat

	Rat 1	Rat 2	Rat 3	Rat 4
Moyenne	115,71	112,44	132,38	125,45
Variance	64,43	15,61	9,25	8,02

b) Test d'homogénéité des variances (homoscédasticité)

Hypothèses
H0: les variances sont homogènes
H1: les variances sont hétérogènes
Valeur observée
H_obs = TeX Embedding failed! = 6,97
Valeur seuil (table de Hartley)
H_4;5;0,95 = 20,6
Conclusion
H_obs < H_seuil: On n'a pas réussi à montrer que les variances étaient significativement hétérogènes.

c) Analyse de la variance (anova)

Hypothèses
H0: les moyennes du taux de catalase de chaque rat sont semblables
H1: au moins une des moyenne du taux de catalase des rats est significativement différente des autres

Valeur de Fisher observée

Source de variabilité	SCE	dl	CM	F_obs
Totale	1637,86	19		17,11
Factorielle	1248,61	3	416,20
Résiduelle	389,25	16	24,33

Valeurs seuils
F_3;16;0,95 = 3,24
F_3;16;0,99= 5,29
F_3;16;0,999 = 9,01
Concusion
Fobs > F_4;16;0,999: Au moins un des rats présente un taux de catalase moyen différent des autres rats de manière très hautement significative.

Déterminez l'intervalle de confiance à 95%
Correction
TeX Embedding failed! Or,
- Mx = 121,49
- t_3;0,975 = 3,182
- CM_F = 416,20
- N = 20
I.C. = TeX Embedding failed!; donc, l'intervalle de confiance est compris entre 106,98 et 136,01.
Sachant que le prix du rat est 1000 fois plus important que le prix du réplicat, déterminez le nombre de rats à prendre et le nombre de réplicats à faire dans cette étude
Correction
n_i, le nombre optimal de réplicats, vaut TeX Embedding failed!. Or,
- Ca, le coût d'un rat = 1000;
- C, le coût d'un réplicat = 1;
- σ², la variance entre les réplicats = E(CM_R) = 24,33;
- σ²_a, la variance entre rats = TeX Embedding failed! = 78,38
Donc, n_i= TeX Embedding failed! = 17,62, soit 18 réplicats.
En tenant compte des données précédentes et en supposant que l'on veuille mettre en évidence l'effet d'une drogue diminuant la catalase d'au moins 5% avec les risques d'erreur ne dépassant pas 5%, calculez le nombre approximatif de rats à inclure dans l'expérience
Correction
na, le nombre optimal de rats, vaut - pour une confiance et une puissance de 95% - TeX Embedding failed!. Or,
- σ², la variance entre les réplicats = E(CM_R) = 24,33;
- σ²_a, la variance entre rats = TeX Embedding failed! = 78,38;
- Δ, la différence minimale souhaitée est de 5%.
Donc, TeX Embedding failed! = 53,27; soit 54 rats.