Définition de la technique et conditions d'application

Une expérience fait parfois intervenir une série statistique à deux dimensions, c'est-à-dire 2 séries d'observations X et Y couplées. Lorsqu'au moins une des 2 variables est aléatoire, il est possible de considérer ces 2 variables simultanément au moyen d'une régression.

Cas étudié dans le cadre de ce cours:

Dans le cadre de ce cours, seul le cas où X est une variable contrôlée (non aléatoire, c'est-à-dire dont les valeurs sont fixées par l'expérimentateur) sera considéré.

Conditions d'utilisation de la régression dans l'ANOVA :
 

Condition 1:

Les valeurs prises par la variable X doivent être fixées sans erreur par l'expérimentateur.

Condition 2

X étant une variable contrôlée, on peut considérer Y comme fonction de X, mais non le contraire :

Condition 3:

Pour chaque valeur X_i de X, il existe une population de valeurs Y_i distribuée normalement, de moyenne µ_i et de variance σ² homogène c'est-à-dire constante quelle que soit la valeur de X :

Condition 4:

Les moyennes µ_i correspondant aux valeurs Y_i sont situées sur une droite dont les paramètres sont β0 et β1 telle que :

,

Condition 5:

Les variables aléatoires Y_i sont indépendantes.

Exemple et interprétation en statistiques descriptives

Supposons que l'on réalise une expérience portant sur l'étude de la pression sanguine (Y variable aléatoire) en fonction de l'âge (X variable contrôlée):

Lorsque l'âge des patients augmente, observe-t-on un accroissement de leur pression sanguine?

Cet accroissement répond-il à un modèle linéaire?

Ce que nous savons déjà:

Une simple analyse descriptive permet déjà de tirer les conclusions suivantes:

1. Le coefficient de corrélation r vaut environ 0,94. L'interprétation est la suivante: "Si la relation entre X et Y est de type linéaire, elle est croissante, car r est positif. De plus, comme r est très proche de 1, on peut supposer que le nuage de points est très concentré autour de la droite de régression. Il est cependant impossible de tirer une conclusion ferme et définitive sur la linéarité de la relation tant que le graphique n'a pas été réalisé (méthode empirique), ou qu'un test sur la linéarité de la relation n'a pas été effectué (méthode statistique)."  
2. Le coefficient de détermination R² vaut environ 0,88. L'interprétation est la suivante: "Si la relation entre X et Y est de type linéaire, le modèle mathématique Y=aX+b peut expliquer à lui seul 88% de la variabilité observée en Y. Les 12% restants représentent les erreurs de mesures et toutes les imprécisions engendrées lors de l'expérience. Comme au point précédent, sans la visualisation graphique de l'expérience, ou un test statistique sur la linéarité, il est impossible d'affirmer avec certitude que la relation est bien linéaire."
3. Grâce à la représentation graphique (diagramme de dispersion), nous pouvons voir que le modèle linéaire semble bien adapté à la répartition des points, mais rien ne nous prouve que c'est ce modèle qui explique au mieux la distribution des points.

Analyse de la régression dans l'ANOVA

L'analyse de la régression dans l'ANOVA est une méthode de calcul qui permet de découper la variabilité expliquée (factorielle) en deux parties.

1.  La première partie contient la variabilité expliquée par le modèle linéaire (SCEreg).
2. La seconde partie contient la variabilité expliquée par la non linéarité de la relation (SCEnl)

SCEF=SCEreg + SCEnl

Le principe de la régression dans l'ANOVA est de tester ces deux parties de la variabilité factorielle (variabilité due à la régression et variabilité non linéaire) par rapport à la variabilité résiduelle. Cette décomposition n'est réalisable que si le facteur ou critère de classification de l'ANOVA est un critère quantitatif ordonné (voir conditions d'applications).

Test sur la régression :

Si le F observé pour la régression est supérieur au F des tables pour 1 dl (correspondant aux degrés de liberté de la variabilité due à la régression) et (N-na) dl (correspondant aux degrés de liberté de la variabilité résiduelle), cela signifie que lorsqu'on applique le modèle linéaire µ_i=β0+β1X_i entre la pression sanguine et l'âge, la pente β1 est non nulle. Le signe de la pente correspond au signe de la somme des produits des écarts (SPE) ou de la covariance. Dans cet exemple, on peut dire que la pression sanguine augmente avec l'âge.

Dans les graphiques ci-dessous le résultat de ce test est symbolisé par la droite noire en pointillés. Lorsque le test est non-significatif, la droite a une pente nulle; lorsqu'il est significatif, elle a une pente différente de zéro, illustrée ici par une pente de 40 degrés en positif. 

Test sur la non-linéarité :

Si le F observé pour l'aspect non linéaire est supérieur au F des tables pour (na-2) dl (correspondant aux degrés de liberté de la variabilité non linéaire) et (N-na) dl (correspondant aux degrés de liberté de la variabilité résiduelle), cela signifie que la distribution des Y s'écarte significativement du modèle linéaire, et qu' il vaudrait mieux recourir à une relation non-linéaire pour décrire Y en fonction de X.

Dans les graphiques ci-dessous, le résultat de ce test est symbolisé par le trait bleu. Lorsque le test est non significatif, cela signifie que la droite suffit à décrire la relation de Y en fonction de X (régression linéaire simple). Lorsque le test est significatif, cela signifie que les points s'écartent significativement de la droite et donc que l'équation mathématique caractérisant au mieux Y en fonction de X est de type non-linéaire.

Explication graphique :

		Régression: CMreg/CMR
		Non Significatif : La droite utilisée a une pente nulle	Significatif : La droite utilisée a une pente non nulle
Non linéarité: CMnl/CMR	Non Significatif : Il n'y a pas d'écarts significatifs par rapport à la droite: le modèle idéal peut être considéré comme linéaire.
	Significatif : Il y a des écarts significatifs par rapport à la droite: le modèle idéal peut être considéré comme non linéaire.

Attention: Dans le cas de résultat significatif pour la non-linéarité, la courbe dessinée ici n'est qu'un des multiples exemples possibles. Dans ce cas l'étape suivante est de déterminer parmi tous les modèles non-linéaires (exponentiel, logarithmique, puissance, inverse, etc...) celui qui est le mieux adapté (et le plus simple) à la distribution des points.

Calcul avec MS Excel

En plus de ce tableau, il est nécessaire de calculer:

1. SPE
2. SCEx

SCE reg

La somme des carrés d'écarts de la variabilité due à la régression se calcule de la manière suivante:

NB: Cette formule ne nécessite pas de demander le calcul en mode itératif ( "pomme+enter" sous mac, "ctrl+shift+enter" sous Windows) .

SCE nl

La somme des carrés d'écarts de la variabilité non linéaire se calcule de la manière suivante:

SPE

La somme des produits d'écarts se calcule de la manière suivante:

= SOMME((zone des X-moyenne des X)*(zone des Y-moyenne des Y))

NB: Cette formule nécessite de demander le calcul en mode itératif ( "pomme+enter" sous mac, "ctrl+shift+enter" sous Windows) !

SCEx

La somme des carrés des écarts de X se calcule dans Excel de deux manières différentes:

1: Si pour chaque X_i correspond un série de Y_ij:

Votre tableau de données est alors organisé comme ceci:

Dans ce cas la formule à utiliser est : =n_i*SOMME.CARRES.ECARTS(zone des X)

2: Si chaque X_i est répété à chaque ligne, et lui correspond un et un seul Y _ij:

Votre tableau de données est alors organisé comme ceci:

Dans ce cas la formule à utiliser est : =SOMME.CARRES.ECARTS(zone des X)