Contrastes orthogonaux

Technique et définition

Technique

Cette méthode de comparaison des moyennes (contrastes orthogonaux) est plus puissante que la méthode des contrastes de Scheffé. Comme cette dernière, elle est applicable même dans le cas où les effectifs des échantillons ne sont pas tous égaux.

Définition

La plupart des expériences sont réalisées dans le but de répondre à une ou plusieurs questions précises. Chacune des questions posées constitue un contraste l.

On appelle contraste toute combinaison linéaire des moyennes des nA populations.

TeX Embedding failed!

Où les ci sont des constantes liées par la relation

TeX Embedding failed!

Afin que les différents contrastes à tester ne soient pas redondants, il est nécessaire qu'ils soient indépendants. Dans ce cas, ils sont dits "ORTHOGONAUX".

Deux contrastes lp et lq sont orthogonaux si et seulement si le produit scalaire de leurs coefficients cpi et cqi est nul.
cp1cq1+cp2cq2+...+cpnAcqnA = 0

 

Quelques considérations:

Dans une expérience comportant nA échantillons, il y a (nA-1) contrastes orthogonaux entre eux. Ils sont en général définis a priori avant même l'obtention des résultats.

Une expérience contenant r contrastes l1, l2, ... et lr forment un ensemble de contrastes mutuellement orthogonaux si, et seulement si, ils sont orthogonaux 2 à 2.

Exemple

Supposons qu'une entreprise pharmaceutique souhaite tester deux médicaments A et B pour voir s'ils ont une influence sur la croissance pondérale de moutons. Pour chacun des médicaments, deux doses (dose 1 et dose 2) sont testées.

L'expérimentateur va construire une expérience comme suit:

 
MEDICAMENT A
MEDICAMENT B
TEMOIN
DOSE 1
DOSE 2
DOSE 1
DOSE 2

Comme il y a 5 échantillons (nA), il y a donc 4 questions (nA-1) non redondantes à se poser:

 

  1. Les médicaments A et B ont-ils un effet sur la croissance pondérale des moutons?
  2. Le médicament B a-t-il le même effet que le médicament A?
  3. La dose du médicament A a-t-elle une importance sur croissance pondérale des animaux testés?
  4. La dose du médicament B a-t-elle une importance sur croissance pondérale des animaux testés?

1°) Les médicaments A et B ont-ils un effet sur la croissance pondérale des moutons?

 
MEDICAMENT A
MEDICAMENT B
TEMOIN
DOSE 1
DOSE 2
DOSE 1
DOSE 2
+4
-1
-1
-1
-1

Pour répondre à cette question, l'expérimentateur va imputer aux différentes moyennes de l'expérience une valeur ci de manière à opposer les résultats des différents médicaments au résultat obtenu avec le témoin.

top

2°) Le médicament B a-t-il le même effet que le médicament A?

 
MEDICAMENT A
MEDICAMENT B
TEMOIN
DOSE 1
DOSE 2
DOSE 1
DOSE 2
0
+1
+1
-1
-1

Pour répondre à cette question, l'expérimentateur va imputer aux 2 moyennes correspondant au médicament A une valeur ci telle qu'elle va opposer à celles imputées aux moyennes du médicament B.

top

3°) La dose du médicament A a-t-elle une importance sur la croissance pondérale des animaux testés?

 
MEDICAMENT A
MEDICAMENT B
TEMOIN
DOSE 1
DOSE 2
DOSE 1
DOSE 2
0
+1
-1
0
0

Pour répondre à cette question, l'expérimentateur va imputer à la moyenne correspondant à la dose 1 du médicament A une valeur ci telle qu'elle va opposer à celle imputée à la moyenne de la dose 2 de ce même médicament A.

top

4°) La dose du médicament B a-t-elle une importance sur croissance pondérale des animaux testés?

 
MEDICAMENT A
MEDICAMENT B
TEMOIN
DOSE 1
DOSE 2
DOSE 1
DOSE 2
0
0
0
+1
-1

Pour répondre à cette question, l'expérimentateur va imputer à la moyenne correspondant à la dose 1 du médicament B une valeur ci telle qu'elle va opposer à celle imputée à la moyenne de la dose 2 de ce même médicament B.

Calculs

   
MEDICAMENT A
MEDICAMENT B
 TeX Embedding failed!
TeX Embedding failed!
D2
 F obs
conclure
 
TEMOIN
DOSE 1
DOSE 2
DOSE 1
DOSE 2
         
c1
+4
-1
-1
-1
-1
  
20
      
c2
0
+1
+1
-1
-1
  
4
      
c3
0
+1
-1
0
0
  
2
      
c4
0
0
0
+1
-1
  
2
      

Quelques remarques

Ti

Les Ti (pour i = 1, 2, ..., nA) correspondent aux totaux. Ainsi, T1 résulte de la somme des valeurs de l'échantillon 1 ou encore au produit suivant:

moyenne1*ni avec ni le nombre d'individus dans un échantillon


Calculer TeX Embedding failed!

 

TeX Embedding failed! représente la somme de toutes les valeurs d'un échantillon ou encore la moyenne*nombre de valeurs contenues dans l'échantillon.

NB dans excel: TeX Embedding failed!=SOMME(zone des constantes ci pour un contraste*zone des Ti)

ATTENTION: POMME ENTER (sur Mac) et CTRL SHIFT ENTER (sur pc)


Calculer TeX Embedding failed!

TeX Embedding failed! représente la somme des carrés des constantes posées pour un contraste ci (ou question) (exemple: pour le contraste c1: 42+(-1)2+(-1)2+(-1)2+(-1)2=20

NB dans excel: TeX Embedding failed!=SOMME((zone des constantes des contrastes ci)^2 )

ATTENTION: POMME ENTER et CTRL SHIFT ENTER (sur pc)

 


D2

D2 correspond au calcul suivant:

TeX Embedding failed!

NB dans excel: D2=valeur de la somme des ciTi pour un contraste^2 / (taille d'un échantillon*somme des constantes ci^2 d'un contraste)


Calculer un F observé

Lorsque toutes ces valeurs sont calculées, il faut reprendre chaque D2 et le comparer avec le CMR de l'ANOVA


 

Répondre aux questions (contrastes) posées

Les F observés sont ensuite comparés à une valeur F des tables pour 1 degré de liberté et (N-nA) degrés de libertés pour un intervalle de confiance de 0,95 ou 0,99.

Si la valeur observée est plus grande que la valeur des tables, cela signifie qu'il y a un effet pour la question posée.


Remarques relatives au F tables 1 dl; (N-nA) dl; 0,95 ou 0,99

Pourquoi 1 dl?

En réalité, la variabilité expliquée (FACTORIELLE) dépend de (nA-1) dl. Il y a autant de questions a priori (contrastes) qu'il y a de degrés de liberté pour la FACTORIELLE.

Les contrastes orthogonaux permettent donc de décomposer cette variabilité expliquée en (nA-1) "morceaux".

Pourquoi (N-nA) dl?

Vous comparez un "morceau" de la variabilité expliquée (FACTORIELLE) à la variabilité non expliquée (RESIDUELLE)