Technique et définition

Cette méthode (contrastes de Scheffé) de comparaison des moyennes est peu sensible à la non normalité et à l'inégalité des variances comparées. Elle est applicable même dans le cas où les effectifs des échantillons ne sont pas tous égaux (Scheffé 1953). C'est une méthode peu puissante (capacité à rejeter l'hypothèse nulle à bon escient) mais elle garantit un risque d'erreur de type I limité à alpha pour l'ensemble des comparaisons réalisées.

Définition

On appelle contraste toute combinaison linéaire des moyennes des nA populations.

Où les ci sont des constantes liées par la relation

Exemple:  TeX Embedding failed! est un contraste car la somme des coefficients ci (+1 et -1) est nulle.

S'il n'y a que 2 coefficients +1 et -1,  il s'agit d'un test de comparaison de moyennes 2 à 2 (Scheffé simple). Soit les deux moyennes testées sont identiques (H0: TeX Embedding failed! ) soit elles sont différentes (H1: TeX Embedding failed!).

Principe

Les contrastes de Scheffé simples permettent de tester si la différence entre deux moyennes est significativement différente de 0. Pour cela, la différence observée est comparée en valeur absolue à une valeur seuil appelée PPDS ou la Plus Petite Différence Significative.

Chaque différence entre deux moyennes est comparée à la PPDS.

Si la différence est plus grande que la PPDS, on considère que l'écart séparant les deux échantillons est significatif ou hautement significatif suivant le alpha utilisé pour déterminer la valeur de la PPDS.

Scheffé simple

L'utilisation des contrastes de SCHEFFE sur MS Excel se réalise comme suit:

pour éviter d'avoir à traiter des valeurs négatives vous pouvez employer la fonction Excel =ABS(votre calcul) qui transforme le résultat de votre calcul en une valeur absolue.

Calculer la PPDS (Plus Petite Différence Significative)

Ce qui équivaut à faire dans Excel:

= RACINE(INVERSE.LOI.F(alpha,dlF,dlR)*(n_a-1)*2*(CMR/n_i))

où vous devez remplacer alpha, dlF, dlR, n_a, CMR et n_i par leur valeur respective.

ATTENTION: selon les versions et les réglages d'Excel le séparateur de alpha et des dl est parfois une virgule, parfois un point-virgule.

A la place de la formule INVERSE.LOI.F(alpha,dlF,dlR) vous pouvez aussi déterminer dans les tables la valeur de F à utiliser.

Calculez les PPDS qui correspondent à un alpha de 5% et de 1% (NDLR: valeur à rentrer dans Excel: 0,05 et 0,01).

Conclusion du test de SCHEFFE:

Lorsqu'une des différences est plus grande que la PPDS, cela signifie que les 2 moyennes comparées sont différentes de façon significative, ou hautement significative, selon que la PPDS utilisée est celle calculée pour alpha=5% ou celle calculée pour alpha=1%.

Les contrastes de SCHEFFE mettent en évidence une différence significative entre les échantillons 1 et 2 ainsi qu'une différence très significative entre les échantillons 2 et 3. Les échantillons 1 et 3 possèdent des moyennes comparables.

Scheffé groupé

Pourquoi regrouper?

Le groupement lors de l'analyse des contrastes de Scheffé permet d'augmenter la puissance du test et de se poser a posteriori des questions plus élaborées. Elle s'utilise principalement quand certains niveaux du facteur peuvent être regroupés selon une certaine logique. Dans le cas du Scheffé groupé, le contraste TeX Embedding failed! contient en général plus de 2 coefficients ci non nuls.

Méthodologie:

Lors d'une étude sur l'effet de la teneur en calcium dans la nourriture des brebis, le poids frais (g) du muscle semi-tendineux est quantifié sur 6 groupes de 7 animaux, chaque groupe recevant du calcium à une dose et un type d'administration qui lui sont spécifiques.

Le test de Hartley est non significatif: la condition d'homoscédasticité est donc remplie.

L'ANOVA 1 est significative: au moins une des moyennes de poids diffère.
Il est donc intéressant d'étudier les contrastes de Scheffé de manière groupée.

Scheffé groupé

H0: les deux groupes comparés sont de moyenne égale
H1: les deux groupes comparés ont des moyennes différentes

Les questions:

Q1: Y a-t-il un effet significatif de l'administration de calcium sur le poids des muscles?
Q2: L'administration du calcium sous forme liquide a-t-elle un effet différent de l'administration de Ca sous une autre forme?
Q3: L'administration du Ca sous forme de comprimé a-t-elle un effet différent sur le poids des muscles par rapport à l'administration sous forme d'additif?

Les coefficients des contrastes sont déterminés en fonction des hypothèses nulles (absence d'effets) correspondant aux questions posées.

Pour Q1, H0: m1 = (m2+m3+m4+m5+m6)/5 ou 5m1-1m2-1m3-1m4-1m5-1m6 = 0
Pour Q2, H0: (m2+m3+m4)/3 = (m5+m6)2 ou 2m2+2m3+2m4-3m5-3m6 = 0
Pour Q3, H0: m4 = (m2+m3)/2 ou -1m2-1m3+2m4 = 0

Remarquons que les contrastes de Scheffé simples peuvent se ramener à des contrastes de Scheffé groupés ou il n'y a que deux coefficients  +1 et -1 affectant les deux moyennes à comparer.

Les calculs:

Les conclusions:

• si |L| > PPDS: RH0
• si |L|< PPDS: AH0

Q1: nous observons un effet significatif de l'administration de calcium sur les poids des muscles et ce, quelle que soit la méthode d'administration
Q2: nous constatons que les effets de l'apport en calcium sont significativement plus élevés lorsqu'il est fourni sous forme liquide par rapport aux additifs et aux comprimés
Q3: nous constatons que l'effet sur le poids des muscles est significativement plus important lorsque l'apport se fait sous forme d'additifs par rapport aux apports sous forme de comprimés

Formules utiles dans Excel:

Afin d'alléger les calculs dans Excel, utilisez de préférence les formules "prêtes à l'emploi" disponibles via le bouton "coller une fonction" (fx).

ABS(...) permet de faire calculer la valeur absolue

SOMMEPROD(matrice1; matrice2) permet de calculer une somme de produits de valeurs provenant de 2 matrices de données distinctes (exemple: matrice1= valeur1; valeur2 et matrice2= valeur3; valeur4. Suivant la formule, on calcule (valeur1*valeur3+valeur2*valeur4)

SOMME.CARRES(série de données) permet de calculer la somme des carrés des valeurs sélectionnées