Exercices

Une vache produit quotidiennement 36 ± 5 litres de lait.

1. Définissez la variable étudiée et ses paramètres.
   Correction

   Variable étudiée : la production quotidienne de lait chez la vache, mesurée en litres.
   Paramètres : Moyenne : 36 l; Ecart-type : 5 l, donc variance 25 l². X v.a. N(36;25).
   
   
2. Quelle est la probabilité qu'une vache prise au hasard ait une production laitière inférieure à 30 l/jour ?
   Correction

   TeX Embedding failed!.
   La probabilité d'être inférieur à -1,2 correspond à celle d'être supérieur à 1,2 : p(Z≤-1,2)=p(Z≥1,2)
   La probabilité d'être supérieur à 1,2 = 1 - Probabilité d'être inférieur à 1,2 : p(Z ≥ 1,2) = 1-p(Z≤1,2)
   Dans les tables on trouve : Probabilité d'être inférieur à 1,2 = 0,88493.
   Donc p(Z≤-1,2) = 1 - 0,88493 = 0,11507, c'est à dire 11,5%.
   
   
3. Quelle est la probabilité que la production laitière soit comprise entre :
   • la moyenne plus ou moins 1 écart-type ?
     Correction

     p(-1≤Z≤1) = p(Z≤1) - p(Z≤-1) = p(Z≤1) - (1-p(Z≤1)) = 0,84135 - (1 - 0,84135) = 0,68270, soit approximativement 68%.
     
      
   • la moyenne plus ou moins 2 écarts-types ?
     Correction

     p(-2≤Z≤2) = p(Z≤2) - p(Z≤-2) = p(Z≤2) - (1-p(Z≤2)) = 0,97725 - (1 - 0,97725) = 0,95450, soit approximativement 95%.
     
      
4. La population comprend 5 % de vaches considérées comme étant des mauvaises productrices (faible production laitière), et 5 % de vaches considérées comme étant des excellentes productrices (production laitière élevée). Le reste de la population est considéré comme peuplé de vaches à production correcte. A partir de quelle production journalière peut-on considérer qu'une vache est mauvaise productrice ou excellente productrice ?
   Correction

   Recherche des z correspondants à ces probabilités :
   p(Z≤z₁)=0,95 -> Table de Student, dernière ligne (∞) pour une confiance de 95% : z₁ = 1,645.
   Alors p(Z≤z₂)=0,05 -> z₂ = -1,645.
   Calcul des x correspondants aux z :
   Sachant que TeX Embedding failed! alors TeX Embedding failed!
   Pour z₁ = 1,645 : x₁= (1,645x5) + 36 = 44,23
   Pour z₂ = -1,645 : x₂= (-1,645x5) + 36 = 27,78
   
   
5. Quelle est la probabilité qu'une productrice correcte produise moins de 36 l/jour ?
   Correction

   p(X≤36) dans la population globale = 0,5 ou 50%, car 36 est la moyenne de la population.
   Ici la répartition du critère "production correcte de lait" est symétrique à la moyenne, donc "p(X≤36) sachant que les vaches sont correctes" est aussi de 50%.
   Démonstration pour les sceptiques :
   La population des productrices correctes ne comprend pas toutes les vaches, seulement celles dont la production est comprise entre 27,78 et 44,23 l/j, c'est à dire 90% de la population. Pour résoudre cet exercice on va calculer :
   p(X≤36) sachant que x appartient à "production correcte ".
   Petit rappel de probabilités : TeX Embedding failed!
   Donc : p(X ≤ 36) parmi les vaches à production correcte = TeX Embedding failed!.
   
    
6. Quelle est la probabilité qu'une productrice correcte ait une production inférieure à 30 l/jour ?
   Correction

   Même principe :
   TeX Embedding failed!
   Or, TeX Embedding failed!.
   Donc, la probabilité qu'une productrice normale ait une production inférieure à 30 l/jour est égale à TeX Embedding failed! c'est à dire 7,23%
    
7. Quelle est la probabilité qu'une vache ayant une production inférieure à 30 l/jour soit une productrice correcte ?
   Correction

   Revient à faire :
   TeX Embedding failed!... c'est à dire 56,5%
   
    
8. Quelle est la probabilité qu'une vache prise au hasard soit une productrice laitière correcte et ai une production supérieure à 36 l/jour ?
   Correction

   p(36≤X≤44,23)= p(X≤44,23) - p(X≤36)=0,95-0,50=0,45 c'est à dire 45%.
   
   

Pour répondre vous devez consulter les tables.