La variable aléatoire binomiale est une variable aléatoire discrète, elle représente le nombre de succès parmi n épreuves élémentaires pour autant que les conditions suivantes soient réalisées:
La distribution de probabilités dépend des paramètres n et π: elle est asymétrique pour des valeurs de π très petites (proches de 0) ou très grandes (proches de 1)
Soit X une variable binomiale. Elle se caractérise par n (le nombre de répétitions indépendantes) et π (la probabilité de A) et s'écrit:
X v.a. Bi (n; π)
ou bien
X = Bi (n; π)
L'espérance de X est: E(X) = n. π
La variance est VAR(X) = σ2= n. π.(1- π)
Pour X v.a.Bi (n;π), la probabilité d'un événement unique s'écrit: TeX Embedding failed!
Exemple: soit une famille de 12 enfants :
Soit G "être un garçon" et F "être une fille"
Avec P(G)=0,52 et P(F)=0,48
Soit l'événement unique A=FFFFGGGGGGGG alors P(A)=0,484.0,528
Combinaisons de résultats :
On s'intéresse généralement à une probabilité du type P(X=4), où X représente le nombre de filles dans une famille de 12 enfants, qui correspond à de nombreuses combinaisons de filles et de garçons :
FGFFGGGFGGGG, GGGGGGFGFGFF, GGFFGFGGGFGG, etc.
Pour calculer le nombre de combinaisons, on emploie la formule combinatoire suivante:
| TeX Embedding failed! |
Dans notre exemple, il existe TeX Embedding failed! soit 495 possibilités de combinaisons de 4 filles et 8 garçons dans une famille de 12 enfants.
Détermination de la probabilité P(X = xi) :
La probabilité d'avoir 4 filles dans une famille de 12 enfants tient compte du nombre de combinaisons possibles d'avoir 4 filles, multiplié par la probabilité d'un événement unique.
La formule est donc:
| TeX Embedding failed! |
Dans une famille de 12 enfants, la probabilité d'avoir 4 filles [P(X = 4)] vaut:
P(X = 4) = 495.0,484.0,528= 0,14
Les tables de probabilités sont un outil qui dispense, dans de nombreux cas (dont ceux énoncés dans les exercices de ce site) de calculer les probabilités associées à la loi Binomiale en calculant toutes les étapes avec des formules.
La table de probabilités de la distribution binomiale est disponible sous le lien "Tables" présent sur toutes les bannières des pages de ce site. Elle décrit les probabilités cumulées associées à différentes situations.
Exemple : Dans la table n=10, colonne 0,25, ligne 4 on trouve P(X≤4) dans une binomiale Bi(10;0,25) et dans ce cas P(X≤4) = 0,9219 .
Avec les tables, réalisons les exercices suivants :
Sur 10 lancers d'une pièce équilibrée (donc p(pile)=p(face)=0,5) :
Exercice 1 : quelle est la probabilité d'obtenir maximum 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X≤3) = 0,1719 (Table n=10, colonne 0,5, ligne 3)
Exercice 2 : quelle est la probabilité d'obtenir moins de 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X<3) = P(X≤2) = 0,0547 (Table n=10, colonne 0,5, ligne 2)
P(X<3) = P(X≤2) car la table est cumulée : donc en face de 3 il y a P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) et comme on est dans une distribution discrète il n'y a pas de valeurs entre 2 et 3 donc P(X<3) = P(X≤2).
Exercice 3 : quelle est la probabilité d'obtenir minimum 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X≥3) = 1 - p(X≤2) = 1 - 0,0547 = 0,9453 (p(X≤2) =0,0547 : Table n=10, colonne 0,5, ligne 2).
La table ne donne que des probabilités du genre P(X≤x) donc pour résoudre les exercices avec les tables il faut simplifier son équation afin de n'avoir plus que des termes de ce type. Ici P(X≥3) = 1 - p(X≤2).
Exercice 4 : quelle est la probabilité d'obtenir plus de 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X>3) = 1 - p(X≤3) = 1 - 0,1719 = 0,8281
Exercice 5 : quelle est la probabilité d'obtenir entre 3 et 5 fois la face pile ?
Résolution : P(3≤X≤5) = p(X≤5) - p(X≤2) = 0,6230 - 0,0547 = 0,5683
1. Soit une étude portant sur des familles de 10 enfants. On sait que la probabilité d'avoir une fille ou un garçon est identique. Quelle est la probabilité pour que:
2. Dans une population donnée, la probabilité de trouver le gène Z actif est de 50%. Soit X le nombre de patients possédant ce gène Z actif. Une expérience a été menée sur un échantillon de 25 personnes (arrondir les réponses à deux décimales significatives).
3. Un examen de statistique rencontre un taux d'échec de 35%. Quelle est la probabilité que, sur 10 étudiants sélectionnés aléatoirement dans l'auditoire, il y ait:
4. Une rivière comporte une population d'écrevisses. Un écologiste réalise une expérience en disposant tous les 10 mètres une nasse à écrevisses. Il en place ainsi 25 et les numérote de 1 à 25. Sachant que pour cette rivière, il n'y a que 15% de chances de relever une nasse vide: