Distributions aléatoires discrètes
Distribution binomiale
Définition et conditions d'application
La variable aléatoire binomiale est une variable aléatoire discrète, elle représente le nombre de succès parmi n épreuves élémentaires pour autant que les conditions suivantes soient réalisées:
- Pour chaque épreuve, deux types de résultats sont possibles: A (succès) et A* (échec)
- La probabilité de succès (π) est la même à chaque épreuve: probabilité constante de succès π (probabilité d'échec=1-π)
- On répète l'épreuve élémentaire un nombre fixé n
La distribution de probabilités dépend des paramètres n et π: elle est asymétrique pour des valeurs de π très petites (proches de 0) ou très grandes (proches de 1)
Nomenclature
Soit X une variable binomiale. Elle se caractérise par n (le nombre de répétitions indépendantes) et π (la probabilité de A) et s'écrit:
X v.a. Bi (n; π)
ou bien
X = Bi (n; π)
Valeurs caractéristiques:
L'espérance de X est: E(X) = n. π
La variance est VAR(X) = σ2= n. π.(1- π)
Exemples de variables aléatoires binomiales
- Le nombre de fois que l'on fait 6 en lançant n fois un dé à 6 faces non pipé
- Le nombre de drosophiles mâles dans des expériences portant sur n individus
- Le nombre de chauves-souris Grand Rhinolophe de plus de 380 mm d'envergure parmi n individus capturés
Comment calculer des probabilités avec la loi binomiale ?
Détail du calcul des probabilités
Pour X v.a.Bi (n;π), la probabilité d'un événement unique s'écrit: TeX Embedding failed!
Exemple: soit une famille de 12 enfants :
Soit G "être un garçon" et F "être une fille"
Avec P(G)=0,52 et P(F)=0,48
Soit l'événement unique A=FFFFGGGGGGGG alors P(A)=0,484.0,528
Combinaisons de résultats :
On s'intéresse généralement à une probabilité du type P(X=4), où X représente le nombre de filles dans une famille de 12 enfants, qui correspond à de nombreuses combinaisons de filles et de garçons :
FGFFGGGFGGGG, GGGGGGFGFGFF, GGFFGFGGGFGG, etc.
Pour calculer le nombre de combinaisons, on emploie la formule combinatoire suivante:
| TeX Embedding failed! |
Dans notre exemple, il existe TeX Embedding failed! soit 495 possibilités de combinaisons de 4 filles et 8 garçons dans une famille de 12 enfants.
Détermination de la probabilité P(X = xi) :
La probabilité d'avoir 4 filles dans une famille de 12 enfants tient compte du nombre de combinaisons possibles d'avoir 4 filles, multiplié par la probabilité d'un événement unique.
La formule est donc:
| TeX Embedding failed! |
Dans une famille de 12 enfants, la probabilité d'avoir 4 filles [P(X = 4)] vaut:
P(X = 4) = 495.0,484.0,528= 0,14
Calculer les probabilités avec les tables de probabilités
Les tables de probabilités sont un outil qui dispense, dans de nombreux cas (dont ceux énoncés dans les exercices de ce site) de calculer les probabilités associées à la loi Binomiale en calculant toutes les étapes avec des formules.
La table de probabilités de la distribution binomiale est disponible sous le lien "Tables" présent sur toutes les bannières des pages de ce site. Elle décrit les probabilités cumulées associées à différentes situations.
Exemple : Dans la table n=10, colonne 0,25, ligne 4 on trouve P(X≤4) dans une binomiale Bi(10;0,25) et dans ce cas P(X≤4) = 0,9219 .
Avec les tables, réalisons les exercices suivants :
Sur 10 lancers d'une pièce équilibrée (donc p(pile)=p(face)=0,5) :
Exercice 1 : quelle est la probabilité d'obtenir maximum 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X≤3) = 0,1719 (Table n=10, colonne 0,5, ligne 3)
Exercice 2 : quelle est la probabilité d'obtenir moins de 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X<3) = P(X≤2) = 0,0547 (Table n=10, colonne 0,5, ligne 2)
P(X<3) = P(X≤2) car la table est cumulée : donc en face de 3 il y a P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) et comme on est dans une distribution discrète il n'y a pas de valeurs entre 2 et 3 donc P(X<3) = P(X≤2).
Exercice 3 : quelle est la probabilité d'obtenir minimum 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X≥3) = 1 - p(X≤2) = 1 - 0,0547 = 0,9453 (p(X≤2) =0,0547 : Table n=10, colonne 0,5, ligne 2).
La table ne donne que des probabilités du genre P(X≤x) donc pour résoudre les exercices avec les tables il faut simplifier son équation afin de n'avoir plus que des termes de ce type. Ici P(X≥3) = 1 - p(X≤2).
Exercice 4 : quelle est la probabilité d'obtenir plus de 3 fois la face pile ?
Résolution : P(X>3) = 1 - p(X≤3) = 1 - 0,1719 = 0,8281
Exercice 5 : quelle est la probabilité d'obtenir entre 3 et 5 fois la face pile ?
Résolution : P(3≤X≤5) = p(X≤5) - p(X≤2) = 0,6230 - 0,0547 = 0,5683
Exercices
1. Soit une étude portant sur des familles de 10 enfants. On sait que la probabilité d'avoir une fille ou un garçon est identique. Quelle est la probabilité pour que:
- 2 d'entre eux soient des filles (combien de combinaisons sont possibles?)
- une famille ne comporte pas plus de 2 garçons
- une famille comporte au minimum 2 filles
2. Dans une population donnée, la probabilité de trouver le gène Z actif est de 50%. Soit X le nombre de patients possédant ce gène Z actif. Une expérience a été menée sur un échantillon de 25 personnes (arrondir les réponses à deux décimales significatives).
- Quelle est la probabilité de déceler la présence d'un gène inactif chez 10 personnes au moins dans cette expérience?
- Quelle est la probabilité de trouver 5 personnes possédant ce gène Z actif? Combien de combinaisons sont possibles?
3. Un examen de statistique rencontre un taux d'échec de 35%. Quelle est la probabilité que, sur 10 étudiants sélectionnés aléatoirement dans l'auditoire, il y ait:
- Plus de 2 étudiants en échec?
- Plus de 5 étudiants en échec?
4. Une rivière comporte une population d'écrevisses. Un écologiste réalise une expérience en disposant tous les 10 mètres une nasse à écrevisses. Il en place ainsi 25 et les numérote de 1 à 25. Sachant que pour cette rivière, il n'y a que 15% de chances de relever une nasse vide:
- Déterminer la probabilité de relever 3 nasses vides?solution: P(X=3) = 0,22
- Si l'écologiste relève 2 nasses vides sur les 25, combien de combinaisons sont possibles?
Distribution de Poisson
Définition et conditions d'application
La variable aléatoire de Poisson est une variable aléatoire discrète qui caractérise le nombre d'événements survenus par unité de temps ou d'espace dans le cas où ces événements se produisent de manière indépendante et aléatoire dans le temps ou dans l'espace. Cette distribution est caractérisée par un seul paramètre µ qui est la moyenne de la distribution; en outre, la variance est égale à la moyenne. La distribution de Poisson peut s'appliquer dans des problèmes de gestion (file d'attente, centrales téléphoniques : événement aléatoire dans le temps), en microbiologie (nombre de bactéries dans une boite de Pétri), en écologie (nombre de moules par mètres carrés), en biologie clinique (nombre de globules blancs par ml). Il s'agit donc de l'occurrence d'un événement élémentaire par unité de volume, de surface ou de temps.
Contrairement à la distribution Binomiale, il n'y a pas ici de notion d'échec ou de succès et il n'y a pas de contrainte supérieure (le comptage est illimité).
Nomenclature :
Soit X une variable de Poisson où X = comptage dans l'intervalle considéré. Elle se caractérise par µ, qui est à la fois la moyenne et la variance de la distribution.
La variable aléatoire de Poisson a une distribution asymétrique si µ n'est pas très élevé.
X v.a. Po (µ)
Valeurs caractéristiques :
- E(x) = µ et var(x) = µ
- moyenne = variance
Exemples de variables aléatoires de Poisson :
Nombre d'évènements par unité (volume, temps, surface):
- Le nombre de poissons par mètre cube d'eau
- Le nombre de drosophiles mâles rencontrés pendant 10 minutes
- Le nombre de désintégrations d'un radio-isotope par minute
à ne pas confondre avec la binomiale. Exemple : le nombre de truites par 100 poissons pêchés dans une rivière
Comment calculer des probabilités avec la loi de Poisson ?
Détermination de la probabilité TeX Embedding failed!
La variable aléatoire de Poisson a comme fonction de probabilité :
| TeX Embedding failed! |
Condition: x ≥ 0
le seul paramètre est µ = le nombre moyen d'événements.
Exercices
1. Un zoologiste étudie les passages d'une espèce de chauve-souris en lisière d'un espace boisé à La Plante près de Namur. Il effectue un comptage d'individus et répertorie en moyenne 3 individus par 30 minutes (arrondir à deux décimales significatives).
- Quelle est la probabilité qu'il détecte 7 individus en 1h?
- Quelle est la probabilité qu'il détecte au plus 7 individus en 1h?
- Quelle est la probabilité qu'il détecte entre 2 et 4 individus par 15 minutes?
2. L'institut National de Statistiques s'est intéressé au nombre d’accidents sur la route et démontre qu'en moyenne, on observe 2 accidents par quart d'heure en pleine heure de pointe.
- Quelle est la probabilité de n'observer aucun accident en un quart d'heure?
- Quelle est la probabilité d'observer plus de 3 accidents en un quart d'heure?
- Quelle est la probabilité de n'observer aucun accident en une heure?
- Quelle est la probabilité d'observer 4 accidents en une heure?
3. Selon les observations, en moyenne 3 personnes entrent dans la gare de Namur toutes les 5 minutes. Sachant cela,
- Quelle est la probabilité qu'aucun individu n'entre dans la gare durant les 5 minutes d'observation?
- Quelle est la probabilité que 4 personnes et plus entrent dans la gare de Namur durant ces 5 minutes?
4. Soit X le nombre de mollusques capturés par 10 dm2.
Supposons que la répartition des animaux est non agrégative et que la concentration moyenne est de 10 individus par 10 dm2. Quelle est la probabilité de capturer 15 individus par 10 dm2?